Teoria

1 - PROBABILIDADES

Princípio  fundamental da contagem

O nº total de possibilidades total de ocorrer um acontecimento é dado por m x n.

Em que m e n são o nº de maneiras com que um acontecimento pode ocorrer

Exemplo

Uma cantina oferece na ementa 1 sopa, 2 pratos principais, 3 variedades de bebida e 2 sobremesas. Um aluno deseja comer sopa, um prato principal, uma bebida e uma sobremesa. Quantas refeições diferentes poderá o aluno escolher?

1 x 2 x 3 x 2 = 12  O aluno poderá escolher 12 refeições diferentes.

 

Fatorial de um nº natural

n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1  (n! é a representação de fatorial)

 

Atenção ao seguinte: 1! = 1 e 0! = 1

Exemplo

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Poderá ser calculado também com a calculadora:

Exemplo

Simplificar o fatorial:

 

Permutações

Todas as sequências distintas que se podem obter com n elementos, chamam-se permutações:

Pn  = n!

Exemplo

Quantos anagramas da palavra ÁGUA com ou sem significado se podem construir?

Como a palavra tem 4 letras. Podemos formar um anagrama com as 4 letras, permutando-as entre si, logo:

P4  = 4! = 4 x 3 x 2x 1 = 24

Podemos construir 24 anagramas.

 

Arranjos sem repetição

Designam-se por arranjos de n elementos p a p às sequências (a ordem interessa) que são possíveis obter com p elementos escolhidos de modo arbitrário dos n elementos:

 

Nota:

Exemplo

Quantos números de três algarismos diferentes é possível formar com os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9.

O nº de algarismos é 5. Dos 5 serão escolhidos 3.

É possível formar 60 números diferentes.

Também poderá ser utilizada a calculadora:

 

Arranjos com repetição

Designa-se por arranjos com repetição dos n elementos p a p a todas as sequências de p elementos diferentes ou não que é possível formar com os n elementos.

Exemplo

Os números de telefone da Região de Lisboa têm 9 algarismos cujos primeiros dois dígitos são o 2 e o 1. O nº máximo de telefones que podem ser instalados é?

Fixamos os dois primeiros:

2 1 ? ? ? ? ? ? ?

Há 10 algarismos possíveis para cada ponto de interrogação e podem repetir-se:

O nº máximo de telefones a serem instalados é 10 milhões.

 

Combinações

Designa-se por combinações de n elementos  p a p, a todas as sequências de p elementos diferentes ou não que é possível formar com os n elementos.

 

Exemplo

Com um conjunto de 10 peças diferentes, qual o nº de grupos distintos que podem ser construídos:

A ordem não interessa, por isso podemos escolher 4 de 10 peças:

Ou com a calculadora:

Triângulo de Pascal

 

   Propriedades do Triângulo de Pascal

  • A primeira linha começa com o nº1 e cada linha inicia e termina com 1.

  • Cada termo de uma linha (com exceção dos extremos) é igual à soma dos termos que estão em cima:

  • Em cada linha os termos equidistantes dos extremos são iguais:

  • Cada linha tem n+1 termos;

  • O 2º e o penúltimo termo indicam o nº da linha;

  • A soma de todos os termos da n-ésima linha é

Exemplo

Consideramos parte da representação de 2 linhas consecutivas do triângulo de Pascal, onde se desconhecem os valores x e y.

A partir das propriedades apresentadas, vamos calculá-las:

Binómio de Newton

Desenvolvimento do binómio:

(a + b)n = nC0.an.b0 + nC1.an-1.b1+ …+ nCn-1.a1.bn-1+ nCn.a0.bn

Nota: Quando n é par há termo médio, quando é ímpar não há.

Exemplo

Calcular o desenvolvimento de (x + 2)4

Termo de ordem p e ordem p+1:

Exemplo

Calcular o 4ºtermo do desenvolvimento de (x + 2)6

 

Exemplo

Qual o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (2+x)5?

 

Substituir n por 5. Como x4 tem grau 4, igualar expoente x a 4 e determinar p.

Substituir o o valor encontrado de p para calcular o coeficiente do termo em x.

Logo, o coeficiente do termo em  x4 é 10.

 

Operações com conjuntos e Leis de Morgan

Experiências aleatórias e deterministas

Experiência aleatória: é uma experiência com vários resultados possíveis que dependem do acaso.

Experiência determinista: é caracterizada por se prever o seu resultado mediante realização da experiência nas mesmas circunstâncias.

 

Exemplo

Aleatória: Lançamento de um dado e contagem do nº de pintas da face que fica para cima.

Determinista: Pôr uma rolha de cortiça na água e verificar que flutua.

 

Espaço amostral e acontecimentos

Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória (representa-se por U, S ou Omega.

Acontecimento: qualquer subconjunto do espaço amostral.

Acontecimento elementar: formado por 1 elemento, apenas 1 do espaço amostral.